投資背後的數學
轉自微信公眾號 嶺峰資本
投資看似復雜多變，方法無窮無盡，如星空宇宙，實則原理簡單明瞭，萬變不離其宗。這個不變的原理就是數學。從數學上看，長期投資獲得回報的本質是本金的復利增長。復合增長的速度越快，財富積累的速度越快。要想獲得長期的高復合增長，則要從數學上徹底搞明白這個增長率的內在本質。這就要從著名的貝爾實驗室的兩個傑出學者香農與凱利說起。
1948年，克勞德·香農發表瞭著名的論文《通信的數學原理》，奠定瞭信息論的基礎。在香農的論文中，引入瞭一個重要的概念– 信息熵。熵的概念來源於物理學，是衡量一個系統無序程度的量。在信息論中，信息熵是衡量不確定性的量。在一個隻有兩種可能性，其概率為p與q，而且p=1-q的系統中，信息熵的公式是（Log是以2為底的對數）：
比如一枚對稱的硬幣，隻有正反面兩種可能，正面的可能性p=1/2，反面的可能性q=1/2，則信息熵為H=1。香農的理論開創瞭人類通信的新時代，也啟發瞭很多人，包括他的同事約翰·凱利。
香農在貝爾實驗室的同事約翰·凱利在1956年發表瞭一篇重要的論文《信息率的一個新解讀》。在這篇論文中，凱利推導出瞭賭博者在多次下註時每次投入本金的最佳百分比，即凱利公式。利用這個最佳百分比，賭博者可以獲得最大速度的財富增長。如果賭這是博隻有贏與輸這兩種可能，贏的概率為p，輸的概率為q = 1 - p，且p > q。贏，則下註的資金翻倍，獲得下註的等額回報。輸，則損失全部下註。如果每次下註量占本金的比例固定為f，則使本金復合增長速度最大的最佳投註比例為f* = p - q。而賭徒的本金復合增長的速度為：
當我看到這個公式時，第一個直覺就是這與香農的信息熵聯系緊密。所以，我把這個公式做瞭一個簡單推導，卻得出瞭驚人的結論。如果把最佳投註比例f = p - q及p + q = 1帶入以上公式，就得到瞭帶有 香農的信息熵的最大復合增長速度公式：
這個公式說明瞭什麼呢？用一句話概括就是“尋求確定性”。
確定性的數學道理
首先，不能參與信息熵接近1的博弈。比如參與50/50的拋硬幣遊戲，其信息熵為1，最佳投註比例為0%，即不參與。這就是說，無勝算，不參與，不打無準備的仗。在股票市場，投資翻倍並不容易。任何在勝算不超過50%的情況下“賭一把”的行為都有害於投資的長期復合增長。那些看似風光，經常參與小概率大回報的投機者是無法在長期獲得財富的快速增長的。
其次，信息熵越高，越不確定，投資的長期復合增長率越低。要想獲得長期的高復合增長，必須投資於信息熵低的確定的目標。為什麼巴菲特總是投資於一些看似乏味，但未來可以預測的穩定增長的消費型公司，而不投資於高科技的微軟或蘋果公司？從信息熵的角度看，那些枯燥乏味的公司不確定性低，信息熵較低。而那些高科技公司的不確定性高，信息熵高。從長期看，從數學的角度分析，當然那些信息熵更低的公司更值得投資。隻有投資於信息熵低的公司，長期才能有高的復合增長率。
過去的半個世紀，巴菲特的伯克希爾-哈撒韋實現瞭復合增長率20%左右，即G=20%，H=1-G=0.80。如果轉換成前面的簡單拋硬幣遊戲，這相當於在保持最佳投註比例的前提下，巴菲特進行的是有75%以上勝算的博弈。也就是說巴菲特拋的硬幣有3/4的可能是他贏的那一面，隻有1/4的可能才是他會輸的那一面。在半個世紀的時間裡長期玩這個高度確定的遊戲，難怪巴菲特富可敵國。
第三，嚴格避免賭性過強，過度下註。在不借貸，不用杠桿的情況下，一個投資者的資金復合增長速度與他的下註比例是一條函數曲線，如下圖：
從數學上看，即使勝算很高的投資，也存在一個最佳下註比例的問題。如果過度押註，必然是過猶不及，反而獲得更低的復合增長速度。與押註不足增速放慢相比，過度押註還有更危險的地方，即復合增長進入負值區間，也就是損失本金。當一個人賭紅瞭眼，把所有身傢都押上，也就是押註比為1時，很容易獲得負100%的增速，即損失掉所有本金，傾傢蕩產。
第四，避免大幅度的虧損。由於復合增長的特點是相乘的關系，任何一次大幅度的虧損都能抵消之前長時間的持續盈利，因此投資人很難從哪怕一次大的損失中恢復過來。在10年的時間裡，最後一次70%的虧損能夠讓之前連續9年每年15%的復合增長幾乎顆粒無收，即(1-70%)x(1+15%)^9 =1.055。這就是巴菲特常說的“投資的第一條法則就是別虧錢。第二條法則就是別忘記第一條法則。”的數學解釋。
投資是一場永不停息的角逐，著名投資人Bill Miller曾經連續十五年戰勝市場，卻在2008年金融危機中損失60%，不但損失瞭之前十幾年的全部漲幅，聲譽也毀瞭。Bill Miller的故事發人深省。價值投資，逆向投資，集中持股，說起來容易做起來難。不看宏觀的“純粹”價值投資，在大部分時間是可以的，卻會在災難時刻損失殆盡，復合增長歸零。
特殊的情況
前面的數學分析是最簡單的情況，賠率為1。另外，還可以有更復雜，更特殊的情況，如賠率為b的情況（輸，則損失全部下註，贏，則獲得投註的b倍的獎金）。另外，如果輸的時候不損失全部投註，隻輸掉c倍的投註，贏的時候獲得投註的b倍的獎金。這些都是凱利公式的變種，最佳投註比例是不同的。
值得註意的是，如果輸的時候隻損失小部分，即c是很小的百分數，而贏的回報非常高，即b是一個大於1的數時，f值可以大於1，也就是說借錢賭才是最理性的。而且在這種情況下，即使贏的幾率很小，遠低於輸的幾率也沒關系，借錢賭也是合理的，因為贏的回報遠高於輸的損失。這其實就是泡沫的一個重要內在原因之一。如果輸的損失不大，有人兜底，而贏的回報則非常高，借錢去賭是一種理性的選擇。雖然大傢都知道泡沫不可持續，泡沫繼續上漲的幾率遠低於下跌的幾率，但是隻要輸的損失不大（如國傢買單兜底），贏的回報足夠大，大傢還是會趨之若鶩，瘋狂推高泡沫。這其實是非理性中的理性選擇。
另外一個情況就是在風險投資和期權投資中，勝率較低，遠低於50%，但贏的回報有可能很高，高達幾倍甚至幾十倍，即b的數值遠高於1。但是隻要失敗會損失全部投註，即c=1，那麼根據上面的公式，投入的比例最高也就是勝率p。比如有100萬倍回報的一生一次的機會，b=1,000,000但勝率隻有1%，p=1%，而且失敗會損失全部投註，c=1，那麼最佳投註比例最高就是f* ≈ 1% 左右。
人的因素
大多數證券投資，本金翻倍已經是很高的回報瞭。即使是風險投資和期權投資，高倍數的潛在回報與高勝率也不可兼得。更重要的是，人都是會犯錯的，人們往往高估自己的能力，對勝率及回報的估計很有可能誤判，高估瞭自己獲勝的概率及回報。如果沒有安全邊際，很容易就傾傢蕩產。這就是實際中為什麼隻有巴菲特富可敵國，但沒有一個豪賭的投機者能夠接近他的財富。索羅斯看似激進投機，但他也自己說過隻會用盈利而不是本金去冒險。他尋找的是確定的趨勢。
投資的樂趣在於千變萬化，不斷挑戰人的智力。而數學之美則在於簡單抽象而力量無窮。投資不是數字遊戲，但卻必須遵循數學的規律，更要考慮人性的弱點，需要結合數學與人性。
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